Question

【題目】我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）．當地政府擬在“十三五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤（萬元）．

（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？

（2）若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根據（1）、（2）該方案是否具有實施價值？

Answer 1

【答案】（1）205萬元；（2）3175萬元；（3）有

【解析】

（1）由獲得利潤與投入的函數關系式：，可得每年獲得利潤的最大值，從而可得答案；

（2）首先求得前兩年的獲利最大值，注意前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x=50時，P值最大；然后后三年：設每年獲利y，設當地投資額為a，則外地投資額為100-a，即可得函數y=P+Q，整理求解即可求得最大值，則可求得按規劃實施，5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值；

（3）比較可知，該方案是具有極大的實施價值．

解：（1）當x＝60時，P的最大值為41萬元，

∴5年所獲利潤的最大值是：41×5＝205（萬元）；

（2）前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，

∴x＝50時，P最大為：（萬元），

后三年：設每年獲利y，設當地投資額為a，則外地投資額為100﹣a，

∴

，

∴當a＝30時，y最大為1065，

∴這三年的獲利最大為1065×3＝3195（萬元），

∴5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2＝3175（萬元）．

（3）有很大的實施價值．

規劃后5年總利潤為3175萬元，不實施規劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值．