Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A、B的坐標分別為A（0，3）和B（5，0），連接AB。
（1）現將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°，得到△COD（點A落到點C處），求經過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（2）將（l）中拋物線向右平移兩個單位長度，點B的對應點為點E，平移后的拋物線與拋物線相交于點F，P為平移后的拋物線對稱軸上一個動點，連接PE、PF，當|PE-PF|取得最大值時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸上運動時，是否存在點P使△EPF為直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△COD，
∴OC=OA，OD=OB，
∵A（0，3），B（5，0），
∴C（-3，0），D（0，5），
設過B、C、D的拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代人得a=-；
∴；
（2）由題意可知E點坐標為（7，0），平移前拋物線為
∴向右平移2個單位長度后的拋物線為
解方程組得
∴F（2，5）
作點E關于對稱軸x=3的對稱點E′，則E′（-1，0），
∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F，
∴直線E′F與對稱軸的交點P是所求的點，
設直線E′F的解析式為y=kx+b，則有2k+b=5，-k+b=0
解得k=，b=，
∴直線E′F的解析式為y=x+，
∴當x=3時，y=，
∴當|PE-PF|取得最大值時，P點坐標為（3，）；
（3）設P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5），
則PE²=（7-3）²+m²=m²+16，
EF′=（7-2）² +5²=50，
PF′=（3-2）²+（m-5）²=m²-10m+26，
①若∠PEF=90°，則PE²+EF²=PF²，
即m²+16+50=m²-10m+26，
解得m=-4，
∴P₁（3，-4），
②若∠PFE=90°，則PF²+EF²=PE²，
即m²-10m+26+50=m²+16，
解得m=6，
∴P₂（3，6），
③若∠FPE=90°，則PF²+PE²=EF²
即m²-10m+26+m²+16=50，
解得
∴
綜上所述，存在點P使△EPF為直角三角形，坐標分別是P₁（3，-4），P2（3，6），。