Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點D，E是BC邊的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-6x+8=0的兩個根，求直角邊BC的長；
（3）在（2）的條件下，則圖中陰影部分的面積=

 

．

Answer 1

分析：（1）相切．連接OD，證OD⊥DE即可．因為AB是直徑，所以連接BD，則BD⊥AC，△BCD為直角三角形．又E是BC中點，得DE=EB，所以∠EDB=∠EBD；因OB=OD，有∠OBD=∠ODB．所以∠ODE=∠OBC=90°，得證；
（2）解方程求AD、AB的長，從而求BD．利用△ADB∽△BDC得比例線段求解；
（3）陰影部分的面積=S_{四邊形BODE}-S_扇形BOD．
根據(jù)DE是△BDC的中線可得S_△BDE=

1

2

S_△BDC，同理，S_△BOD=

1

2

S_△ABD．
所以S_{四邊形BODE}=

1

2

S_△ABC．
分別求各部分面積求解．

解答：解：（1）DE與半圓O相切，
連接OD，BD，
∵AB是直徑，∴BD⊥AC，△BCD為直角三角形，
∵E是BC中點，∴DE=EB，
∴∠EDB=∠EBD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即
∠ODE=∠OBC=90°．
∴DE與半圓O相切．

（2）解方程x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∴BD=2

3

，
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ADB∽△BDC，
∴

BC

AB

=

BD

AD

，即

BC

4

=

2 3

2

，
∴BC=4

3

．

（3）∵OA=OD=AD=2，∴∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴S_扇形BOD=

120•π•22

360

=

4π

3

，
∵DE是△BDC的中線，
∴S_△BDE=

1

2

S_△BDC，
同理，S_△BOD=

1

2

S_△ABD，
∴S_{四邊形BODE}=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4

3

=4

3

．
∴S_陰影部分=4

3

-

4π

3

．

點評：此題考查的知識點較多，綜合性較強，難度偏上．