Question

（2010•常德）如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE；
（1）當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（2）當正方形GFED繞D旋轉到如圖3的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M．
①求證：AG⊥CH；
②當AD=4，DG=時，求CH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）尋找AG、CE所在的兩個三角形全等的條件，證明全等即可；
（2）①由△AGD≌△CED，可知∠1=∠2，利用對頂角相等及互余關系證明垂直；
②連接GE交AD于P，根據S_△AGD+S_△ACD=S_{四邊形ACDG}=S_△ACG+S_△CGD，再分別表示四個三角形的底和高，列方程求CH．
解答：解：（1）AG=CE成立．
證明：∵四邊形ABCD、四邊形DEFG是正方形，
∴GD=DE，AD=DC，（1分）
∠GDE=∠ADC=90°．
∴∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC．                     （2分）
∴△AGD≌△CED．
∴AG=CE．                                     （3分）

（2）①類似（1）可得△AGD≌△CED，
∴∠1=∠2．                                    （4分）
又∵∠HMA=∠DMC，
∴∠AHM=∠ADC=90°，
即AG⊥CH．                                    （5分）
②連接GE，交AD于P，連接CG，
由題意有，
∴AP=3，．                            （8分）
∵EG⊥AD，CD⊥AD，∴EG∥CD，
∴以CD為底邊的△CDG的高為PD=1，（延長CD畫高）
S_△AGD+S_△ACD=S_{四邊形ACDG}=S_△ACG+S_△CGD
∴4×1+4×4=×CH+4×1
∴CH=．                                   （10分）
點評：本題綜合性較強，考查了三角形全等、相似的判定及性質，解直角三角形，勾股定理等相關知識．