Question

觀察下圖，解答下列問題。

（1）圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，……，第六層有11個圓圈。如果要你繼續畫下去，那么第七層有幾個小圓圈？第n層呢？
（2）某一層上有77個圓圈，這是第幾層？
（3）數圖中的圓圈個數可以有多種不同的方法。 比如：前兩層的圓圈個數和為（1+3）或2²，
由此得，1 + 3 = 2²。
同樣，
由前三層的圓圈個數和得：1 + 3 + 5 = 3²。
由前四層的圓圈個數和得：1 + 3 + 5 + 7 = 4²。
由前五層的圓圈個數和得：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²。
……
根據上述請你猜測，從1開始的n個連續奇數之和是多少？用公式把它表示出來。
（4）計算：1 + 3 + 5 + … + 19的和；
（5）計算：11 + 13 + 15 + … + 99的和。

Answer 1

解：（1）第七層有13個小圓圈，第n層有（2n-1）個小圓圈；
（2）令2n-1 = 77，得，n = 39
所以，這是第39層；
（3）1 + 3 + 5 + … +（2n-1）= n²；
（4）1 + 3 + 5 + … + 19 =10² = 100；
（5）11 + 13 + 15 + … + 99
      = （1 + 3 + 5 + …… + 99）-（1 + 3 + 5 + …… + 9）
      =50² -5² = 2475。