Question

如圖1，已知直線y=﹣x+m與反比例函數y=的圖象在第一象限內交于A、B兩點（點A在點B的左側），分別與x、y軸交于點C、D，AE⊥x軸于E．
（1）若OE·CE=12，求k的值．
（2）如圖2，作BF⊥y軸于F，求證：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的條件下，EF=，AB=2，P是x軸正半軸上的一點，且△PAB是以P為直角頂點的等腰直角三角形，求P點的坐標．

Answer 1

（1）解：設OE=a，則A（a，﹣a+m）， ∵點A在反比例函數圖象上， ∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a2+am， 由一次函數解析式可得C（2m，0）， ∴CE=2m﹣a， ∴OE·CE=a（2m﹣a）=﹣a2+2am=12， ∴k=（﹣a2+2am）=×12=6； （2）證明：連接AF、BE， 過E、F分別作FM⊥AB，EN⊥AB， ∴FM∥EN， ∵AE⊥x軸，BF⊥y軸， ∴AE⊥BF， S△AEF=AE·OE=， S△BEF=BF·OF=， ∴S△AEF=S△BEF， ∴FM=EN， ∴四邊形EFMN是矩形， ∴EF∥CD； （3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=， ∴CD=4， 由直線解析式可得OD=m，OC=2m， ∴OD=4，又EF∥CD， ∴OE=2OF， ∴OF=1，0E=2， ∴DF=3， ∴AE=DF=3， ∵AB=2， ∴AP=， ∴EP=1， ∴P（3，0）．