Question

已知二次函數的圖象如圖所示，
（1）求二次函數的解析式及頂點M的坐標；
（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作NQ⊥X軸于點Q，當點N在BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積______為S，求S與t之間的函數關系式及自變量的取值范圍；
（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-2），
將x=0，y=-2代入得：a=1，
∴拋物線y=x²-x-2=（x-）²-，
∴頂點M的坐標為（，-）；

（2）拋物線與y=x²-x-2與x軸的兩交點為A（-1，0），B（2，0），
設線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，
則，
解得；
故線段BM所在直線的解析式為y=x-3，
設點N的坐標為（x，-t），
∵點N在線段BM上，
∴-t=x-3，
∴x=-t+2，
∴S_{四邊形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC=×1×2+×（2+t）×（-t+2）=-t²+t+3，
∴S與t之間的函數關系式為S=-t²+t+3，自變量t的取值范圍為0＜t＜；

（3）假設存在符合條件的點P，設點P的坐標為P（m，n），則m＞且n=m²-m-2；
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：
①若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²．
∴，
解得：m₁=，m₂=-1；
∵m＞，∴m=，
∴P₁（，）；
②若∠PCA=90°，則PA²=PC²+AC²，
則，
解得：m₃=，m₄=0，
∵m＞，
∴m=，
∴P₂（，-），
當點P在對稱軸右側時，PA＞AC，
∴邊AC的對角∠APC不可能是直角，
∴存在符合條件的點P，坐標分別為P₁（，）；P₂（，-）．
分析：（1）根據A與B的橫坐標，設出拋物線的二根式方程，將C坐標代入求出a的值，確定出拋物線解析式，將解析式化為頂點坐標式，即可求出拋物線頂點M的坐標．
（2）根據拋物線的解析式可求出A、B、C三點的坐標，進而可求出直線BM的解析式，已知了QN=t，即N點縱坐標為-t，代入直線BM的解析式中，可求得Q點的橫坐標即OQ得長，分別求出△OAC、梯形QNCO的面積，它們的面積和即為所求的四邊形QNCO的面積，由此可求出S、t的函數關系式．
（3）根據函數的圖象及A、C的位置，可明顯的看出∠APC不可能是直角，因此此題要分兩種情況討論：
①∠PAC=90°，設出點P的坐標，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根據勾股定理可得到關于P點橫、縱坐標的等量關系式，聯立拋物線的解析式，即可求出此時點P的坐標；
②∠PCA=90°，解法同①．
點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．