Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，過點D作切線DE交BC于E
（1）求證：E為BC的中點；
（2）連接AE，當DE∥AB時，求∠CAE的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連BD，由AB為直徑，根據圓周角定理得推論得到∠ADB=90°，而∠ABC=90°，根據切線的判定定理得到BC是⊙O的切線，而DE與⊙O相切，根據切線長定理得ED=EB，則∠EDB=∠EBD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，則ED=EC，即可得到EB=EC；
（2）連OD，過E點作EH⊥AC于H，設⊙O的半徑為r，根據切線的性質得到OD⊥DE，又DE∥AB，得到OD⊥OB，易證得四邊形OBED為正方形，由勾股定理得到AC=2r，DH=HE=DC=r，AH=2r-r=r，則tan∠CAE==．
解答：（1）證明：連BD，如圖
∵AB為⊙O的直徑，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線，∠ADB=90°，
又∵DE與⊙O相切，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
而∠C=90°-∠EBD，∠CDE=90°-∠EDB，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即E為BC的中點；

（2）解：連OD，過E點作EH⊥AC于H，設⊙O的半徑為r，如圖，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥OB，
而OD=OB，
∴四邊形OBED為正方形，
∴AB=BC=2r，BE=r，
∴AC=2r，DH=HE=DC=r，
∴AH=2r-r=r，
∴tan∠CAE==．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理及其推論、切線的判定定理以及正方形的判定與性質．