Question

【題目】已知拋物線(b，c為常數)．

（1）若拋物線的頂點坐標為(1，1)，求b，c的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求c的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實數m，n( m＜n)，當m≤x≤n時，恰好有，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）b=6，c=2019；（2） ；（3）m=1，

【解析】

（1）利用拋物線的頂點坐標和二次函數解析式y=-2x2+（b-2）x+（c-2020）可知，y=-2（x-1）2+1，易得b、c的值；

（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是（x0，y0），（-x0，-y0），代入函數解析式，經過化簡得到c=2x02+2020，易得c>2020；

（3）由題意知，拋物線為y=-2x2+4x-1=-2（x-1）2+1，則y≤1．利用不等式的性質推知：≤y≤，易得1≤m＜n．由二次函數圖象的性質得到：當x=m時，y最大值=-2m2+4m-1．當x=n時，y最小值=-2n2+4n-1．所以=-2m2+4m-1，=-2n2+4n-1通過解方程求得m、n的值．

（1）由題可設

去括號得：y=－2x2+4x－1

，

b=6，c=2019

（2）設拋物線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別為、

代入解析式可得：

兩式相加可得：－4x02+2（c－2020）=0

c=2x02+2020

∵x≠0，

，

（3）由（1）可知拋物線為y=－2x2+4x－1=－2（x－1）2+1，

∴y≤1，

∵0＜m＜n，當m≤x≤n時，恰好有，

，

，即m≥1，

∴1≤m＜n，

∵拋物線對稱軸x=1，開口向下，

∴當m≤x≤n時，y隨x增大而減小，

∴當x=m時，ymax=－2m2+4m－1，

當x=n時，ymin=－2n2+4n－1，

又，

，

將①整理得：2n3－4n2+n+1=0

∴變形得：（2n3－2n2）－（2n2－n－1）=0

即：2n2（n－1）－（2n+1）（n－1）=0

∴（n－1）（2n2－2n－1）=0

∵n＞1

∴2n2－2n－1=0

（舍去），

同理整理②得：（m－1）（2m2－2m－1）=0

∵1≤m＜n

∴m1=1，（舍去），（舍去）

∴綜上所示：m=1，