Question

已知：如圖，矩形ABCD中AB=4，AD=12，點P是線段AD上的一動點（點P不與點A，D重合），點Q是直線CD上的一點，且PQ⊥BP，連接BQ，設AP=x，DQ=y
（1）求證：△ABP∽△DPQ．
（2）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）并求出當y取何值，△ABP∽△PBQ．
（4）若點Q在DC的延長線上，則x的取值范圍

 

．（不必寫出過程）．

Answer 1

分析：（1）根據四邊形ABCD是矩形和PQ⊥BP，利用兩組對應角相等即可求證△ABP∽△DPQ．
（2）根據△ABP∽△DPQ．利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可得出y與x的函數關系式．根據（點P不與點A，D重合），即可求出自變量x的取值范圍．
（3）假設△ABP∽△PBQ．利用其對應邊成比例，解得x的值，然后將x的值代入y=3x-

x2

4

即可．
（4）根據Q在DC的延長線上可知y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，解此方程即可得出則x的取值范圍．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠PQD+∠QPD=90°，
∵PQ⊥BP，
∴∠DPQ+∠APB=90°
∴∠APB=∠PQD，
∴△ABP∽△DPQ；

（2）∵△ABP∽△DPQ．
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，
∵AB=4，AD=12
∴

x

y

=

4

12-x

，即y=3x-

x2

4

．
∵AP與AD不重合，
∴0＜x＜12；
答：y與x的函數關系式為：y=3x-

x2

4

；
自變量x的取值范圍是：0＜x＜12；

（3）假設△ABP∽△PBQ，
則

AP

QP

=

AB

BP

，即

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，
將y=3x-

x2

4

代入上式，解得x=6．
將x=6代入y=3x-

x2

4

，解得y=9．
答：當y=9時．△ABP∽△PBQ；

（4）∵Q在DC的延長線上，
∴y＞4，即3x-

1

4

x2＞4，
解此方程得6-2

5

＜x＜6+2

5

．
故答案為：6-2

5

＜x＜6+2

5

．

點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質，矩形的性質，勾股定理，函數等多個知識點的理解和掌握，綜合性很強，難度較大，尤其是解此方程

x2

y2+(12-x)

=

16

x2+16

，總之此題是一道難題．