Question

（1998•金華）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，D分別是AB，BC的中點，過E，D作⊙O，且與AB相切于E，⊙O與BC的延長線交于F，求⊙O的半徑OE的長．

Answer 1

【答案】分析：如圖，在△ABC中根據勾股定理可以求出AB=5，過E作⊙O，且與AB相切于E，切線的性質得出∠ACB=∠BEF=90°，證明△ACB∽△BEF，然后利用其對應邊成比例即可求出EF，再就可以求出⊙O的半徑OE的長．
解答：解：如圖，在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵E，D分別是AB，BC的中點，
∴BE=2.5，DE∥AC，
∴∠EDF=90°，
∴EF是圓的直徑，即O在EF上，
∵過E，D作⊙O，且與AB相切于E，
∴∠ACB=∠BEF=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△FEB，
∴EF：AC=BE：BC，
∴EF=AC•BE÷BC=4×2.5÷3=，
∴OE=．
點評：此題綜合考查勾股定理、圓的切線的性質，三角形相似的判定與性質等知識．有一定難度．