Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)的圖像（記為拋物線）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別記為，，且．

（1）若，，且過點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若關(guān)于x的一元二次方程的判別式．求證：當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)．

（3）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點(diǎn)D，若，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，把，，點(diǎn)，代入解析式，即可求出解析式；

（2）利用根的判別式進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，然后證明，得到，然后得到，利用二次根式的性質(zhì)即可得到答案．

解：（1）由題意得：，

∵函數(shù)過點(diǎn)，

∴，

∴，

∴．

（2）由題意，一元二次方程的判別式．

∴，

∴，

在函數(shù)中，

∵，

∴，

即函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)．

（3）因?yàn)楹瘮?shù)頂點(diǎn)在直線l上，則有，

即①

∵，

∴，

即，

∴，

由①得：②

∵，

∴

∵，

∴，

則．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴．

由②得：，

∴，

∴當(dāng)時，．