Question

【題目】△ABC在平面直角坐標系內如圖1擺放，A、C兩點的橫坐標都是5，BC∥x軸．已知B點坐標為(－3，m)，AB交y軸于點D，且AC＝BC.

(1) 填空：BC＝_____；△ABC的面積為______；用m表示點A的坐標為______.

(2) 射線BO交直線AC于點Q，若△ABQ的面積為16，試求m的值

(3) 如圖2，點D在y軸負半軸上，∠BAC的三等分線AP與∠BOD的角平分線OP交于點P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，試求∠BOD的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m= 或m= （3）40°<∠BOD<45°.

【解析】

（1）根據A、C點橫坐標為5，說明AC⊥x軸，根據與x軸，y軸平行的直線上點坐標特征確定點A坐標，再根據面積公式求解；

（2）通過證明三角形相似，利用其性質表示出Q點的坐標，再根據面積公式列方程求解；

（3）設∠BOP=∠POD=α，利用外角等于不相鄰兩個內角和及已知角的關系將∠P和∠B用α表示，根據題意列不等式求α的解集，再結合外角大于任何一個不相鄰的內角確定∠BOD的范圍.

解：（1）∵A、C點橫坐標為5，B點坐標為(－3，m),

∴BC=5-(-3)=8,

∵BC∥x軸,

∴∠ACB=90°

∵AC＝BC

∴S△ABC=

∵B (－3，m), BC=AC=8,

∴A(5,m+8)；

（2）如圖，過B作BH⊥x軸，垂足為H,AC與x軸交于點G,

∴∠BHO=∠QGO=90°, ∠HOB=∠GOQ,

∴△HOB∽△GOQ,

∴ ,

∴,

∴QG=,

∴Q的坐標為 ，

∴AQ的長度為 ，

∵△ABQ的面積為16,

∴，

解得：m= 或m= .

（3）如圖，AP與y軸交于點N,點M在y軸上，

∵OP是∠BOD的角平分線，

∴∠BOP=∠POD，

∵∠ACB=90°，AC=BC,

∴∠BAC=∠ABC=45°,

∵∠BAC＝3∠BAP＝45°

∴∠BAP=15°, ∠CAP=30°,

∵OM∥AC,

∴BDM=∠BAC=45°, ∠PNM=∠PAC=30°,

設∠BOP=∠POD=α,

∵∠BDM=∠B+∠BOD,

∴∠B=∠BDM-∠BOD=45°-2α,

∵∠PNM=∠POM+∠P,

∴∠P=∠PNM-∠POM=30°-α,

∵∠P>2∠B,

∴30°-α>2(45°-2α)

解得，α>20°

∴∠BOD>40°

∵∠BDM >∠BOD,

∴∠BOD<45°

∴40°<∠BOD<45°.