Question

如圖，矩形ABOC的邊OB，OC分別在坐標(biāo)軸上，將矩形ABOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到的矩形為DEOF．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，m），反比例函數(shù)的圖象（第一象限）經(jīng)過線段DF的中點(diǎn)M，且滿足m+n=6．
（1）求m，n的值；
（2）求直線CM的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)直線CM交DE于點(diǎn)N，請(qǐng)判斷點(diǎn)N是否在反比例函數(shù)的圖象上（寫出理由）．

Answer 1

解：（1）∵將矩形ABOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到的矩形為DEOF，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，m），
∴AC=BO=OE=DF=2，CO=OF=m，
∵反比例函數(shù)的圖象（第一象限）經(jīng)過線段DF的中點(diǎn)M，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為：m，
∵M(jìn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴xy=n=m，
∵m+n=6，
∴m=3，n=3；

（2）∵m=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），M點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，1），
假設(shè)直線CM的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
將C，M代入解析式得：
，
解得：，
故直線CM的函數(shù)解析式為：；

（3）∵DE是平行于x軸的直線，且過（0，2）點(diǎn)，故直線DE可以表示為：y=2，
∴直線CM與直線DE交點(diǎn)N的坐標(biāo)求法應(yīng)該是將兩直線解析式聯(lián)立，求出公共解集，
故，
解得：，
故N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，2），
∵×2=3，
∴點(diǎn)N在y=上．
分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，m），得出矩形中AC=BO=OE=DF=2，再由反比例函數(shù)的圖象（第一象限）經(jīng)過線段DF的中點(diǎn)M，得出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出m，n的關(guān)系，進(jìn)而求出m，n．
（2）根據(jù)m，n的值即可求出C，M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線解析式即可；
（3）利用兩直線交點(diǎn)求法得出N點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)N是否在圖象上．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)xy=n，求出m=n是解決問題的關(guān)鍵．