Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…，如此進行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．下列結論正確的有
①四邊形A₂B₂C₂D₂是矩形；　
②四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是
④四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是．

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：首先根據題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關系規律，然后對以下選項作出分析與判斷：
①根據矩形的判定與性質作出判斷；
②根據菱形的判定與性質作出判斷；
③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計算四邊形A₅B₅C₅D₅的周長；
④根據四邊形A_nB_nC_nD_n的面積與四邊形ABCD的面積間的數量關系來求其面積．
解答：解：①連接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC丄BD，∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的兩條對角線相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
故本選項錯誤；
②由①知，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴根據中位線定理知，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本選項正確；
③根據中位線的性質易知，A₅B₅=A₃B₃=×A₁B₁=××AC，B₅C₅=B₃C₃=×B₁C₁=××BD，
∴四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是2×（a+b）=；
故本選項正確；
④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是；
故本選項正確；
綜上所述，②③④正確．
故選C．
點評：本題主要考查了菱形的判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關系．