Question

【題目】已知：等邊△ABC的邊長為a．

探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=a；

探究（2）：在等邊△ABC內取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F．

①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：結論1．OD+OE+OF=a；結論2．AD+BE+CF=a；

②如圖3，若點O是等邊△ABC內任意一點，則上述結論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①：結論1成立．證明見解析；②：結論2成立．

【解析】

試題分析：（1）本題中△ABC為等邊三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，這樣就能證得MN=a；

（2）判定①是否成立可通過構建直角三角形，把所求的線段都轉化到直角三角形中進行求解；

判斷②是否成立，也要通過構建直角三角形，可根據勾股定理，把所求的線段都表示出來，然后經過化簡得出結論②是否正確．

試題解析：（1）如圖1，∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°．

∵BC⊥MN，BA⊥MG，

∴∠CBM=∠BAM=90°．

∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．

∴∠M=90°-∠ABM=60°．

同理：∠N=∠G=60°．

∴△MNG為等邊三角形．

在Rt△ABM中，BM=，

在Rt△BCN中，BN=，

∴MN=BM+BN=a．

（2）①：結論1成立．

證明：如圖3，過點O作GH∥BC，分別交AB、AC于點G、H，過點H作HM⊥BC于點M，

∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，

∴△AGH是等邊三角形，

∴GH=AH．

∵OE⊥BC，

∴OE∥HM，

∴四邊形OEMH是矩形，

∴HM=OE．

在Rt△ODG中，OD=OGsin∠DGO=OGsin60°=OG，

在Rt△OFH中，OF=OHsin∠OHF=OHsin60°=OH，

在Rt△HMC中，HM=HCsinC=HCsin60°=HC，

∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH

=（GH+HC）=AC=a．

（2）②：結論2成立．

證明：如圖4，連接OA、OB、OC，

根據勾股定理得：

BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，

CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，

AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，

①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，

∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a/span>2-2ADa+AD2+a2-2BEa+BE2+a2-2CFa+CF2

整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．