Question

【題目】如圖，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一點，且AO:OB=2:5，過點O作垂足為D，

（1）求點O到直線AC的距離OD的長；（圖1）

（2）若P是邊AC上的一個動點，作交線段BC于Q（不與B、C重合）（圖2）

①求證：；

②設，，試求關于的函數解析式，并寫出定義域；

③若與相似，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；③或

【解析】

（1）首先作，判斷出，推得，即可判斷出；然后根據，求出OD的長度，就是點O到AC的距離；
（2）①根據同角的余角相等得到，然后利用相似三角形的判定定理證明；
②由（1）可知，求出AD、PD的長度各是多少，然后根據，即可推得，據此求出y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域即可；
③根據題意，分兩種情況：當時，當PQ平分時，分類討論，根據②中函數解析式和角平分線的性質，分別求出AP長是多少即可.

解：（1）如圖1，作，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得，
即點O到AC的距離是；
（2）①如圖3，作，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在和△QPC中， ，
∴；
②如圖3，作，

，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如圖4，當時，與相似，

∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
解得或，
如圖5，作于點E，

當PQ平分時，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即點P為CD的中點,
由，可得，
解得，
綜上可得：當與相似時，、或.