Question

已知如圖，動點P在反比例函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象上運動，點A點B分別在X軸，Y軸上，且OA＝OB＝2，PM⊥X軸于M，交AB于點E，PN⊥Y軸于點N，交AB于F；

(1)當點P的縱坐標為時，連OE，OF，求E、F兩點的坐標及ΔEOF的面積；

(2)動點P在函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象上移動，它的坐標設為P(a，b)(－2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|)，其他條件不變，探索：以AE、EF、BF為邊的三角形是怎樣的三角形？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由條件知A(－2，0)，B(0，2)易求得直線AB的解析式為：y＝x＋2 　　又∵點P在函數(shù)y＝－上，且縱坐標為，∴P(－，) 　　把x＝－代入y＝x＋2中得y＝，∴E(－，) 　　把y＝代入y＝x＋2中得x＝－∴F(－，) 　　SΔE0F＝SΔAOF–SΔAOE＝××－××＝ 　　(2)以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形；理由如下： 　　由條件知ΔAOB是等腰直角三角形，則ΔAME，ΔEPF，ΔFNB均為等腰直角三角形，又－2﹤a﹤0，0﹤b﹤2 　　AM＝2－(－a)＝2＋a∴AE2＝(AM)2＝2a2＋8a＋8 　　BN＝2－b∴BF2＝(BN)2＝2b2－8b＋8 　　PE＝PM－EN＝PM－AM＝b－(2＋a)＝b－a－2而ab＝－2 　　∴EF2＝(PE)2＝2a2＋2b2＋8a－8b＋16 　　又|a|≠|b|∴AE≠BF 　　而(2a2＋8a＋8)＋(2b2－8b＋8)＝2a2＋2b2＋8a－8b＋16 　　∴AE2＋BF2＝EF2 　　故以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形；