Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，點O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經過B點．
（1）請寫出拋物線對應的函數關系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，線段CD下方的拋物線上有一個動點M．過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過B點，B點的坐標是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴該拋物線的解析式為：；

（2）∵A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根據勾股定理知，AB===5．
假設點C、D都在拋物線．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）；
當x=5時，y=×5²-×5+4=4，
當x=2時，y=×2²-×2+4=0，
∴點C和點D在所求拋物線上；

（3）設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）．
則，
解得，，
故直線CD的解析式為y=x-．
∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，
∴N點的橫坐標也為t；
則y_M=×t²-t+4，y_N=t-．
∴l=y_N-y_M=t--（×t²-t+4）=-（t-）²+．
∵-＜0，
∴當t=時，l_最大=，此時y_M=×（）²-×+4=．
此時點M的坐標為（，）．
分析：（1）已知拋物線上B點的坐標以及拋物線方程，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）根據C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數值的差，可將x=t代入兩個函數的解析式中，得出的兩函數值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出l取最大值時，點M的坐標．
點評：此題考查了二次函數綜合題，其中涉及到的知識點有：待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，圖象的平移變換，二次函數的應用等知識．在設一次函數解析式y=kx+b時，不要漏掉k≠0這一條件．