Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線上不同的三點坐標，利用待定系數法可求出該拋物線的解析．
（2）根據O、B點的坐標發現：拋物線上，O、B兩點正好關于拋物線的對稱軸對稱，那么只需連接A、B，直線AB和拋物線對稱軸的交點即為符合要求的M點，而AM+OM的最小值正好是AB的長．
解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c中，得

解這個方程組，得a=-，b=1，c=0
所以解析式為y=-x²+x．

（2）由y=-x²+x=-（x-1）²+，可得
拋物線的對稱軸為直線x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小
過點A作AN⊥x軸于點N，
在Rt△ABN中，AB===4，
因此OM+AM最小值為．
點評：此題在二次函數的綜合類型題中難度適中，難點在于點M位置的確定，正確理解二次函數的軸對稱性以及兩點之間線段最短是解題的關鍵．