Question

如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-2ax+b經過A（-2，0），C（2，8）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．點E坐標為（0，-2），點P是線段BO上的一個動點，從點B開始以1個單位每秒的速度沿BO向終點O運動；

（1）求此拋物線的解析式；
（2）設運動時間為t秒，直線PE掃過四邊形ABCD的面積為S，求S關于t的函數關系式；
（3）能否將△OEB繞平面內某點旋轉90°后使得△OEB的兩個頂點落在拋物線上？若能，請直接寫出旋轉中心的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將原式配方，再將A（-2，0），C（2，8）代入解析式即可求出a、b的值，從而得到函數的解析式；
（2）將掃過的面積轉化為△PEB和△PFB兩個三角形的面積之和來表示，用含t的代數式表示出BP的長，表示出P點坐標，求出直線PE的表達式，再求出直線BC的解析式，將二者組成方程組，求出F的縱坐標，即可表示出△PFB的面積表達式；易得，△BPE的表達式，將二者相加即可．
（3）分為3種情況，①旋轉后OE在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BE在拋物線上解答．
解答：解：（1）y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∵過點A（-2，0），C（2，8），
∴
解得．
故此拋物線的解析式為y=-x²+2x+8；

（2）由拋物線的解析式為y=-x²+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
設一次函數EP的解析式為y=kx+b，將P（4-t，0），E（0，-2）分別代入解析式得，
，
解得，，
一次函數解析式為y=x-2．
設BC的解析式為y=ax+c，
將C（2，8），B（4，0）代入解析式得，
，
解得，
函數解析式為y=-4x+16．
將y=-4x+16和y=x-2組成方程組得，
，
解得，
S=×（4-t）×=．


（3）分為3種情況，①旋轉后OE在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BE在拋物線上．
1、旋轉后OE在拋物線上：
設為O′E′，則O′E′平行于x軸，拋物線y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，對稱軸x=1，
則x₁=1-|OE|=1-1=0，x₂=1+1=2．
則兩點為（0，8）、（2，8）．
這時分別：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分兩種情況分別作OO'，EE'的中垂線，其交點即為其旋轉中心．
∵OO′的解析式為y=4，易得，EE′的解析式為y=5x-2，則EE′的中點坐標為（1，3），
其中垂線解析式為y=-x+b，將（1，3）代入解析式得，b=，
則解析式為y=-x+，當y=4時，x=-4．
旋轉中心坐標為（-4，4）．
2、旋轉后OB在拋物線上：
OB∥y軸，則O′B′∥x軸，但拋物線y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，不成立．
3、旋轉后BE在拋物線上：
BE邊旋轉90°后所得線段B'E'與BE垂直，直線斜率k_BE=，則k_B'E'=-2．
設旋轉后B'E'所在直線方程為：y=-2x+m．
拋物線：y=-x²+2x+8，聯立，解方程，得：
（x，y）=（2+，m-4-2） 或 （x，y）=（2-，m-4+2）
此為兩交點坐標，求距離使其等于|BE|==2．有：
|BE|==，從而有m=11，
兩點坐標：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）兩種情況，
分別作BB′與EE′的垂直平分線，兩者交點即為其旋轉中心．
綜上，同1中解法，共有4種可能性，4個旋轉中心，（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，涉及待定系數法求一次函數解析式，拋物線的性質、方程組的解法等知識，綜合性極強，難度較大．