Question

已知：反比例函數和在平面直角坐標系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點A在的圖象上，AB∥y軸，與的圖象交于點B，AC、BD與x軸平行，分別與，的圖象交于點C、D．
（1）若點A的橫坐標為2，求梯形ACBD的對角線的交點F的坐標；
（2）若點A的橫坐標為m，比較△OBC與△ABC的面積的大小，并說明理由；
（3）若△ABC與以A、B、D為頂點的三角形相似，請直接寫出點A的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據點A的橫坐標和雙曲線的解析式，可以分別求得點A、B、C、D四個點的坐標．根據點C、D的坐標可以運用待定系數法求得直線CD的解析式，根據題意，得點F的橫坐標是2，再進一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點F的縱坐標；
（2）根據（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四個點的坐標，從而求得直角三角形ABC的面積；由于三角形OBC的形狀不規則，可以對其面積進行轉換．作BM⊥x軸于點M．作CN⊥x軸于點N．根據反比例函數的解析式可知：S_△OCN=S_△OBM=1．所以該三角形的面積即為梯形CNMB的面積，根據梯形的面積公式進行計算，再進一步比較其大小；
（3）根據兩個三角形相似，則夾直角的兩組對應邊的比應相等，即AB²=AC•BD，再結合（2）中的坐標計算出線段的長度，列方程得m⁴=16，又m＞0，則m=2．
解答：解：（1）如圖，由題可知，當點A的橫坐標為2時，點A、B、C、D的坐標分別為A（2，4），B（2，1），C（，4），D（8，1）．（1分）
解一：直線CD的解析式為．（2分）
∵AB∥y軸，F為梯形ACBD的對角線的交點，
∴x=2時，．
∴點F的坐標為．（3分）
解二：．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F為梯形ACBD的對角線的交點，
∴△ACF∽△BDF．
∴．
∴，，點F的縱坐標為．（2分）
∴點F的坐標為；（3分）

（2）如圖，作BM⊥x軸于點M．作CN⊥x軸于點N．當點A的橫坐標為m時，點A、
B、C、D的坐標分別為．
．（4分）
S_△OBC=S_梯形CNMB+S_△OCN-S_△OBM=S_梯形CNMB=（5分）
∴S_△OBC＞S_△ABC；（6分）


（3）點A的坐標為（2，4）．（7分）
點評：注意幾個結論：（1）雙曲線y=上任意一點向x軸或y軸引垂線，這點、垂足和原點組成的三角形的面積是；（2）平行于x軸的線段的長等于兩個點的橫坐標差的絕對值；平行于y軸的線段的長等于兩個點的縱坐標的差的絕對值．