Question

如圖，ABCD為平行四邊形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延長線于F點，交BE于E點．
（1）求證：EF=DF；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：過點E作EG∥CD交AF的延長線于點G，
則∠GEF=∠CDF，∠G=∠DCF，
在平行四邊形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∴EG∥AB．
∵BE∥AC，
∴四邊形ABEG是平行四邊形．
∴EG=AB=CD．
∴△EGF≌△DCF．
∴EF=DF．

（2）解：∵∠ADC=60°，AC⊥DC，
∴∠CAD=30°．
∵AD=2，
∴CD=1，
∴AC=，
又∵AC=2CF，
∴CF=．
在Rt△DCF中
DF==，
∴DE=2DF=．
分析：（1）先過點E作EG∥CD交AF的延長線于點G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四邊形ABEG是平行四邊形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，會出現兩對內錯角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．
（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=AD=1，利用勾股定理，可求AC=，而CF=AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．
點評：本題利用了平行四邊形的性質及判定，還有平行線的性質，全等三角形的判定與性質，還有勾股定理等知識．