Question

如圖，點C（1，0）是x軸上一點，直線PC與雙曲線交于點P，且∠PCB=30°，PC的垂直平分線交x軸于點B，如果BC=4．
（1）求雙曲線和直線PC的解析式．
（2）設P′點是直線PC上一點，且點P′與點P關于點C對稱，直接寫出點P′的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PE⊥x軸于E，設BE=a，求出CE=a，根據垂直平分線性質和三角形的外角性質求出∠EPB=30°，推出PE=BE，得出方程a+4=×a，求出a，即可得出P的坐標，
代入y=即可求出反比例函數的表達式，設直線PC的解析式是y=mx+b把P、C的坐標代入得出方程組，求出m和b的值，即可得出直線PC的表達式；
（2）根據對稱的性質求出P′E′=PE=2，CE′=CE=5+1=6，求出OE′，即可得出P′的坐標．
解答：解：（1）如圖，過P作PE⊥x軸于E，
設BE=a，
∵B在PC的垂直平分線上，
∴PB=BC=4，
∴∠PCB=∠BPC=30°，
∴∠PBE=30°+30°=60°，
∴∠EPB=30°，
∴PE=BE=a，
a+4=PE，
∴a+4=×a，
解得：a=2，
OE=2+（4-1）=5，PE=a=2
即P的坐標是（-5，2），
代入y=得：k=-10，
∴反比例函數的表達式是y=-，
設直線PC的解析式是y=mx+b
把P、C的坐標代入得：，
解得：m=-，b=，
∴直線PC的表達式是y=-x+．

（2）過P′作P′E′⊥x軸于E′，
∵根據對稱的性質P′E′=PE=2，CE′=CE=5+1=6，
∴OE′=6+1=7
P′的坐標是（7，-2）．
點評：本題考查了對稱性質、用待定系數法求出一次函數與反比例函數的解析式，含30度角的直角三角形性質，解二元一次方程組等知識點，本題題型比較好，綜合性比較好，有一定的難度．