Question

我們曾經歷過探索梯形中位線性質的過程，在得到梯形中位線性質的同時也積累了許多活動經驗．請利用這些經驗試著解決以下問題：

問題一、如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=AB，DF=DC，若AD=4，BC=12，則EF=________．
問題二、如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，F為BC邊上一點，AE平分∠DAF，且點E為DC的中點，若AF=BF=6.5cm，AB=5cm，求梯形ABCD的面積．
問題三、如圖3，在矩形ABCD中，F為BC邊上一點，AE平分∠DAF，且點E為DC的中點，若AD=a，FC=b．請用含有a，b的代數式表示CD的長．

Answer 1

分析：問題一：連接AC，利用相似三角形的判定與性質得出ME，FM的長得出答案即可；
問題二：利用中位線的性質得出梯形的中位線長，進而求出△ABF的高，即可得出答案；
問題三：根據平行線分線段成比例定理的性質以及等角對等邊得出AF的長，進而利用勾股定理得出AB的長，即可得出CD的長．
解答：解：問題一、如圖1，連接AC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=AB，DF=DC，
AD=4，BC=12，
∴=，=，
∴=，=，
解得：ME=4，FM=，
則EF=4+=；
問題二、如圖2，過點F作FN⊥AB于點N，連接EN，過點A作AG⊥BF于點G，
∵AF=BF=6.5cm，FN⊥AB，
∴AN=BN，
∵點E為DC的中點，
∴NE是梯形ABCD的中位線，
∴NE∥AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
此時NM==×6.5，AM=MF，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∴∠AEM=∠EAF，
∴AM=ME=AF=×6.5，
∴NE=MN+ME=6.5，
∵AN=BN=2.5，BF=6.5，
解得：FN=6，
∴AG×BF=FN×AB，
則6.5AG=6×5，
解得：AG=，
∴梯形ABCD的面積為：AG×NE=6.5×=30；
問題三、如圖3，過點E作NE∥AD于點N交AF于點M，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∵AD∥BC，AD∥NE，
∴AD∥NE∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
∴∠EAM=∠AEM，
∴AM=ME，
∵點E為DC的中點，
∴M為AF中點，
∴AM=MF，
∵AD=a，FC=b，
∴ME==，
∴AF=a+b，
∴BF=a-b，
∴AB²=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
∴CD=AB=2．
故答案為：．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例定理和勾股定理等知識，熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關鍵．