Question

如圖，在直線m上擺放著三個正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=GE，F、G分別是BC、CE的中點，FM∥AC，GN∥DC．設圖中三個平行四邊形的面積依次是S₁，S₂，S₃，若S₁+S₃=20，則S₂等于

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

B
分析：首先要弄清的是S₁與S_△OFC（即a）、S₃與S_△GNE（即b）的關系；以前者為例，若設△OFC中，OC邊上的高為h，則a=OC•h，而S₁=OA•h；由于BF=FC，且△BMF、△FOC都是等邊三角形，故OA=BF=FC=OC，由此發現S₁=2a，同理S₃=2b；由于△OFC和△GNE都是等邊三角形，所以它們都相似，且相似比為1：2（因為BC=GE=2FC），故b=4a，a+b=5a=（S₁+S₃）=10，由此可得a=2，b=4；然后按照上面的方法證S₂與S_△PCG（即b）的關系，從而得到S₂的面積．
解答：解：如圖；（a、b分別表示△OFC、△GNE的面積）
∵F、G分別是BC、CE的中點，
∴△BMF、△OFC以及△CPG、△GNE都是全等的等邊三角形；
∴S_△CPG=b；
設M到AC的距離為h，則S₁=OA•h，a=OC•h；
∵OA=MF=OC，∴S₁=2a，同理可得S₃=2b；
易知△OFC∽△NGE，則a：b=FC²：GE²=1：4，即b=4a；
∵a+b=（S₁+S₃）=10，故a=2，b=8；
∴S_△PCG=b=8；
梯形COHG中，PH=OC=FM=CG=PG，同上可證得S₂=S_△CPG；
所以S₂=b=8，故選B．
點評：此題主要考查了等邊三角形、平行四邊形的性質，相似三角形的性質及圖形面積的求法；此題主要運用相似三角形的對應邊成比例及面積比等于相似比的平方求解，能夠發現△OFC、△GEN的面積之間的關系是解答此題的關鍵．