Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度向A運動，同時點Q從B點出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點Q作 QD丄x軸，垂足為點D，交AC于點E．
（1）求△APE的面積S與運動時間t（單位：秒）的函數關系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當t為何值時，S的值最大；
（3）是否存在點P，使得△APE為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）經過t秒時，BQ=t，OP=2t，則CQ=3-t，AP=4-2t，
∵A（4，0〕，C（0，4〕．
∴AO=CO，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵CB∥AO，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∴QE=CQ=3-t，
∴DE=1+t，
∴S_△APE=AP×DE=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2（0≤t≤2）．
∴S=-t²+t+2（0≤t≤2）；

（2）S=-t²+t+2，
=-+，
∵0≤t≤2，
∴當t=時，S的值最大．

（3）存在，
若∠AEP=90°，則DE是等腰直角三角形APE底邊AP上的高，
∴DE=AD=AP，
∴1+t=（4-2t），
解得：t=，
∴P的坐標是（1，0）；
若∠APE=90°，則此時PE與DE重合，
∴PE=DE=PA，
1+t=4-2t，
t=1，
∴P的坐標是（2，0），
綜上所述P的坐標為（1，0）或（2，0）．
分析：（1）求出BQ、OP、CQ、AP的值，求出DE的值，根據三角形的面積公式求出即可；
（2）把二次函數的解析式化成頂點式，即可求出答案；
（3）若∠AEP=90°，根據DE=AD=AP，代入求出即可；若∠APE=90°，根據PE=DE=PA，代入求出t即可．
點評：本題考查了對二次函數的最值，直角梯形，直角三角形的性質，三角形的面積等知識點的應用，解此題的關鍵是求出S與t的函數關系式和能否求出符合條件的t的值，用的數學思想是分類討論思想，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力，同時也培養了學生的計算能力．