Question

如圖，已知直線l經過點A(1，0)，與雙曲線y＝

(x＞0)交于點B(2，1)．過點P(p，p－1)(p＞1)作x軸的平
行線分別交雙曲線y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于點M、N．
(1)求m的值和直線l的解析式；
(2)若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在實數p，使得S_△AMN＝4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若
不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)由點B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。



          設直線l的解析式為，由點A(1，0)，點B(2，1)在上，得

                     ，，解之，得
∴所求直線l的解析式為。
(2)點P(p，p－1)在直線y＝2上，∴P在直線l上，是直線y＝2和l的交點，見圖（1）。
∴根據條件得各點坐標為N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，
BP＝ 
∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。
         ∴△PMB∽△PNA。
(3)S_△AMN＝。下面分情況討論：
?當1＜p＜3時，延長MP交X軸于Q，見圖（2）。設直線MP為則有
         解得 
         則直線MP為
         當y＝0時，x＝，即點Q的坐標為（，0）。       
則，
由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。
?當p＝3時，見圖（1）S_△AMP＝＝S_△AMN。不合題意。
?當p>3時，延長PM交X軸于Q，見圖（3）。
此時，S_△AMP大于情況?當p＝3時的三角形面積S_△AMN。故不存在實數p，使得S_△AMN＝4S_△AMP。                                      
綜上，當p＝時，S_△AMN＝4S_△AMP。解析:
略