Question

如圖，AB為⊙O直徑，過弦AC的點C作CF⊥AB于點D，交AE所在直線于點F．
（1）求證：AC²=AE•AF；
（2）當弦AC繞點A沿順時針旋轉（C、F不與A、B、E重合）時，請畫出滿足題意的其它的全部圖形；
（3）猜想每個圖形是否還有（1）中的結論，并就其中的一個圖形證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CE、延長CF與圓交于H點，由題意可知，可得∠ACH=∠E，推出△ACF∽△AEC，即可推出結論；
（2）根據題意畫出圖形；
（3）每個圖形都有（1）中的結論，如圖一，根據題意可知，可得∠ACF=∠AEC，推出△ACF≌△AEC，即可得結論．
解答：證明：（1）連接CE、延長CF與圓交于H點，
∵AB為⊙O直徑，CF⊥AB，
∴，
∴∠ACH=∠E，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF；

（2）圖一：

圖二：


（3）每個圖形都有（1）中的結論如圖一，
解：連接CE，
∵AB為⊙O直徑，CF⊥AB，
∴，
∴∠ACF=∠AEC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF．
點評：本題主要考查了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、圓周角定理，解題關鍵在于根據題意畫出圖形，作好輔助線、找到相似三角形．