Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的經過D（﹣2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）、與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式和A、B兩點坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使得∠OAP＝∠BCO，求點P的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線對稱軸上．

①當∠ACM＝90°時，求點M的坐標；

②是否存在這樣的點M與點N，使以M、N、A、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），B（1，0）（2）P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）（3）M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）

【解析】

（1）將點D代入函數解析式求出c,進而表示出二次函數的一般式：y＝﹣x2﹣2x+3，令y=0即可求出A,B的坐標；

（2）求出二次函數的對稱軸,進而求出AH=2, C（0，3），當點P在x軸的上方時，設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，易證△AHP∽△COB，得 ，即可求出點P1（﹣1，）；當點P在x軸的下方時，即與點P1關于x軸對稱時，點P2（﹣1，﹣）；

（3）①過點M作MI⊥y軸，垂足為I，由（2）知：AO＝CO，則∠ACO＝∠CAO＝45°，利用等腰直角三角形性質得MI＝CI，設M（x，﹣x+3），找到等量關系﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，即可求出M（﹣1，4）；②設出M,N的坐標,分別求出對角線的中點,利用平行四邊形的對角線互相平分這一性質建立方程組,求解即可,見詳解.

（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的經過D（﹣2，3），

∴﹣4+4+c＝3，

解得：c＝3，

即拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

設y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，令拋物線對稱軸和x軸交于點H,

∴AH＝2，令x＝0，則y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

即點C（0，3），

當點P在x軸的上方時，設拋物線的對稱軸l與x軸交于點H，

∵∠OAP＝∠BCO，∠AHP＝∠COB＝90°，

∴△AHP∽△COB，

∴ ，

即，

解得：PH＝，

∴點P1（﹣1，）；

當點P在x軸的下方時，即與點P1關于x軸對稱時，點P2（﹣1，﹣）；

綜上所述：點P的坐標為：P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）；

（3）①過點M作MI⊥y軸，垂足為I，由（2）知：AO＝CO，則∠ACO＝∠CAO＝45°，

∵∠ACM＝90°，

∴∠MCI＝45°，

∴MI＝CI，設M（x，﹣x+3），

∴﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，

解得：x1＝﹣1，x2＝0（舍去），

即M（﹣1，4）；

②假設存在滿足題意的M,N,設M（m,-m2-2m+3）,N(-1,n)由（1）（2）問可知A(-3,0)C(0,3),

若AC為平行四邊形對角線,

∵線段AC的中點坐標為（,）,線段MN的中點坐標為（）,

∴

解得：m=-2,n=0,則-m2-2m+3=3,即點M的坐標為M1（﹣2，3），

若AN為平行四邊形對角線,同理可得

解得：m=-4,n=-2,則-m2-2m+3=-5,即點M的坐標為M2（﹣4，﹣5），

若AM為平行四邊形對角線,同理可得

解得：m=2,n=-8,則-m2-2m+3=-5,即點M的坐標為M3（2，﹣5）

所以M有三點，此M的坐標為M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）