Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經過點B，且頂點在直線x＝上．

(1)求拋物線對應的函數關系式；

(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；

(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合)，過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據拋物線y＝經過點B(0，4)，以及頂點在直線x＝上，得出b，c即可； 　　(2)根據菱形的性質得出C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)，利用圖象上點的性質得出x＝5或2時，y的值即可． 　　(3)首先設直線CD對應的函數關系式為y＝kx＋b，求出解析式，當x＝時，求出y即可； 　　(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出，得到ON＝，進而表示出△PMN的面積，利用二次函數最值求出即可． 　　解答：解：(1)∵拋物線y＝經過點B(0，4) 　　∴c＝4， 　　∵頂點在直線x＝上， 　　∴； 　　∴所求函數關系式為； 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， 　　∴AB＝， 　　∵四邊形ABCD是菱形， 　　∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)， 　　當x＝5時，y＝， 　　當x＝2時，y＝， 　　∴點C和點D都在所求拋物線上； 　　(3)設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點， 　　設直線CD對應的函數關系式為y＝kx＋b， 　　則， 　　解得：， 　　∴， 　　當x＝時，y＝， 　　∴P()， 　　(4)∵MN∥BD， 　　∴△OMN∽△OBD， 　　∴即得ON＝， 　　設對稱軸交x于點F， 　　則(PF＋OM)·OF＝(＋t)×， 　　∵， 　　()×＝， 　　S＝(－)， 　　＝－(0＜t＜4)， 　　S存在最大值． 　　由S＝－(t－)2＋， 　　∴當S＝時，S取最大值是， 　　此時，點M的坐標為(0，)． 　　點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，以及菱形性質和待定系數法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數的最值求出是解題關鍵．

提示：

考點：二次函數綜合題．