Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于C點，⊙M是△ABC的外接圓．
（1）求陰影部分扇形AMC的面積；
（2）在x軸的正半軸上有一點P，作PQ⊥x軸交BC于Q，設(shè)PQ=K．
①設(shè)△OPQ的面積為S，求S關(guān)于K的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②△CMQ能否與△AOC相似？若能，求出K的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出A點、B點的坐標(biāo)，當(dāng)x=0，求出C點的坐標(biāo)，求出∠OBC=45°，求出∠M=90°，根據(jù)勾股定理求出AC=

OA2+OC2

=

10

和AM=

5

，根據(jù)扇形的面積公式求出即可；
（2）①由PQ⊥AB，∠PBQ=45°得出∠PBQ=∠PQB=45°，求出OP=OB-BP=3-k，根據(jù)三角形的面積公式s=

1

2

•OP•PQ即可求出答案；②當(dāng)A、M、Q點在同一直線上時，由∠ACO=∠QCM，∠AOC=∠QMC=90°，得到△CMQ∽△AOC，根據(jù)勾股定理求出BQ=

BP2+PQ2

=

2

k，BC=

OB2+OC2

=3

2

，推出CQ=3

2

-

2

k，代入

AC

CQ

=

CO

CM

，即可求出k的值．

解答：解：（1）令y=x²-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A點（-1，0），B點（3，0），
∴OB=3，OA=1，
令x=0，則y=-3，
∴C點（0，-3），
∴OC=3，
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∴∠M=90°，
在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

10

，
在Rt△AMC中，AM²+MC²=AC²，AM=BM，
∴AM=

5

，
∴S_扇形AMC=

90×π( 5 )2

360

=

5π

4

，
答：陰影部分扇形AMC的面積是

5π

4

．

（2）①∵PQ⊥AB，∠PBQ=45°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ=K，
∴OP=OB-BP=3-k，
∴s=

1

2

•OP•PQ=

1

2

k（3-k）=-

1

2

k²+

3

2

k=-

1

2

(k-

3

2

)2+

9

8

，
∴s的最大值是

9

8

，
答：設(shè)△OPQ的面積為S，S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式是s=-

1

2

k²+

3

2

k，S的最大值是

9

8

．

②當(dāng)A、M、Q點在同一直線上時，
∠ACO=∠QCM，∠AOC=∠QMC=90°，
則△CMQ∽△AOC，
在Rt△BPQ中，根據(jù)勾股定理得BQ=

BP2+PQ2

=

2

k，
在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：BC=

OB2+OC2

=3

2

，
∴CQ=3

2

-

2

k，
∴

AC

CQ

=

CO

CM

，
∴

10

3 2 - 2 K

=

3

5

，
∴k=

4

3

，
答：△CMQ能與△AOC相似，此時k的值是

4

3

．

點評：本題主要考查對三角形的面積，勾股定理，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解一元一次方程，扇形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強．