Question

如圖，AB是⊙O的直徑，延長弦BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長ED交AB延長線于點F，求陰影部分的面積．

Answer 1

（1）
直線DE與⊙O的位置關系是相切，
證明：連接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
直線DE是⊙O的切線，
即直線DE與⊙O的位置關系是相切；

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠DOB=∠A=60°，
∵DE是⊙O切線，
∴∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴FO=2OD=12，
由勾股定理得：DF=6，
∴陰影部分的面積S=S_△ODF-S_扇形DOB=×6×6-=18-6π．
分析：（1）連接OD，根據三角形的中位線得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；
（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根據陰影部分的面積等于三角形ODF的面積減去扇形DOB的面積，分別求出后代入即可．
點評：本題考查了切線的性質和判定，平行線的性質和判定，扇形的面積，三角形的面積，三角形的中位線等知識點的綜合應用．