Question

B題（油田考生做）如圖，直線經過A（1，0），B（0，1）兩點，點P是雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上任意一點，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N，PM、PN的延長線與直線AB分別交于點E、F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點坐標．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構建直角三角形來表示出AF，BE的長，過E，F分別作y軸，x軸的垂線，設垂足為D，C，那么△DBE和△FCA均為等腰直角三角形，因此AF=

2

FC，BE=

2

DE，而DE、FC正好是P點的橫坐標和縱坐標，由此可得證．
（2）易知直線AB的解析式為y=-x+1，因此可設所求直線的解析式為y=-x+h，然后聯立雙曲線的解析式，由于兩函數只有一個交點，因此得出的方程根的判別式的值為0，由此可求出直線的解析式進而可得出公共點的坐標．

解答：證明：（1）由直線經過A（1，0），B（0，1）兩點，可得AB的解析式為y=-x+1，
過E作ED⊥y軸于D，過F作FC⊥x軸于C，則△FCA和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AF=

2

FC，BE=

2

DE
∴AF•BE=2•FC•DE
根據雙曲線的解析式知：FC•DE=PM•PN=

1

2

∴AF•BE=1．

（2）易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
因此設平行AB的直線l的解析式為y=-x+h，
設兩函數唯一的公共點Q的坐標為（x，y），
則有：

y=-x+h y= 1 2x

，
即2x²-2hx+1=0，且△=4h²-8=0．
∴h=

2

（負值舍去），
∴x=

2

2

，y=

2

2

∴Q（

2

2

，

2

2

）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點以及二次函數和反比例函數的綜合應用等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．