Question

如圖，在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點B，與y軸相交于點C（0，-3），且BO=CO．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設這個二次函數圖象的頂點為M，試判斷并證明△BCM是否直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BO=OC=3，可得出B點的坐標，然后將B，C兩點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）先根據（1）得出的拋物線求出M點的坐標，然后用坐標系中兩點的距離公式分別求出BC²，OM²，CM²的值，根據勾股定理即可判斷出△BCM是否為直角三角形．
解答：解：（1）∵BO=CO，點B在x軸的正半軸，C（0，-3），
∴B（3，0），
∵點B、C都在拋物線上，
∴．
∴b=-2，c=-3，
∴y=x²-2x-3；

（2）△BCM是直角三角形．
證明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），
∴CM²=1+1=2，BM²=（3-1）²+4²=20，BC²=3²+3²=18，
∴CM²+BC²=BM²
∴△BCM是直角三角形．
點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式以及直角三角形的判定等知識點．