Question

（2009•赤峰）如圖，Rt△ABC的頂點坐標分別為A（0，），B（，），C（1，0），∠ABC=90°，BC與y軸的交點為D，D點坐標為（0，），以點D為頂點y軸為對稱軸的拋物線過點B．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）將△ABC沿AC折疊后得到點B的對應點B'，求證：四邊形AOCB'是矩形，并判斷點B'是否在（1）的拋物線上．
（3）延長BA交拋物線于點E，在線段BE上取一點P，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點F，是否存在這樣的點P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線解析式，因點B在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；
（2）△ABC沿AC折疊，要用到點的對稱，得到B′的坐標然后驗證是否在拋物線上；
（3）假設存在，設直線BA的解析式，根據B、A坐標解出直線BA的解析式，用m表示出P點坐標，因為PF=AD可以得到P點坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+，（1分）
∵B（，）在拋物線上，
∴把B（，）代入y=ax²+
得a=．（3分）
∴拋物線解析式為y=x²+．（5分）

（2）∵點B（，），A（0，），
∴CB=，
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA==2
∴AB==1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四邊形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=，OC=1，
∴B'點的坐標為（1，）．（9分）
∵當x=1時，代入y=x²+得y=，
∴B'（1，）在拋物線上．（10分）

（3）存在．（11分）
理由是：設BA的解析式為y=kx+b，
∴
∴
∵P，F分別在直線BA和拋物線上，且PF∥AD，
∴設P（m，m+），F（m，m²+）
PF=（m+）-（m²+），AD=-=
如果PF=AD，則有
=（m+）-（m²+）=
解得m₁=0（不符合題意舍去），m₂=．
∴當m=時，PF=AD，
存在四邊形ADFP是平行四邊形．（13分）
當m=時，m+=，
∴P點的坐標是（，）．（14分）
點評：考查待定系數求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨特，考查的知識點很全面，是一道綜合性題型．