Question

（2006•遼寧）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的正方形紙片．點O與坐標原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OC=4，點E為BC的中點，點N的坐標為（3，0），過點N且平行于y軸的直線MN與EB交于點M．現將紙片折疊，使頂點C落在MN上，并與MN上的點G重合，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點．
（1）求點G的坐標；
（2）求折痕EF所在直線的解析式；
（3）設點P為直線EF上的點，是否存在這樣的點P，使得以P，F，G為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質，EB=2，根據MN∥y軸，N（3，0），MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，所以sin∠EGM=，即∠EGM=30°，所以MG=EGcos30°=，即G（3，4-）；
（2）先求得F（0，4-2），E（2，4），設直線EF的解析式：y=kx+b（k≠0），利用待定系數法可求得，折痕EF所在直線解析式：y=x+4-2；
（3）分為以下幾種情況：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分別計算可得，P₁（-，1-2），P₂（1，4-），P₃（，7-2），P₄（3，4+）．
解答：解：（1）∵四邊形ABCO是正方形，
∴BC=OA=4，
∵E為CB中點，
∴EB=2，
∵MN∥y軸，N（3，0），
∴MN⊥EB且MB=NA=1，
∴EM=1，
而EG=EC=2，
∴sin∠EGM=，
∴∠EGM=30°，
∴MG=EGcos30°=，
∴G（3，4-）；

（2）∵∠EGM=30°，
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°，
∴CF=CEtan60°=2，
∴FO=4-2，
∴F（0，4-2），E（2，4），
設直線EF的解析式：y=kx+b（k≠0），
∴，
∴，
∴折痕EF所在直線解析式：y=x+4-2；

（3）P₁（-，1-2），P₂（1，4-），P₃（，7-2），P₄（3，4+）．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．