Question

【題目】如圖，OC是△ABC中AB邊的中線，∠ABC＝36°，點D為OC上一點，如果OD＝kOC，過D作DE∥CA交于BA點E，點M是DE的中點，將△ODE繞點O順時針旋轉α度（其中0°＜α＜180°）后，射線OM交直線BC于點N．

（1）如果△ABC的面積為26，求△ODE的面積（用k的代數式表示）；

（2）當N和B不重合時，請探究∠ONB的度數y與旋轉角α的度數之間的函數關系式；

（3）寫出當△ONB為等腰三角形時，旋轉角α的度數．

Answer 1

【答案】（1）S△ODE＝13k2；（2）y＝α（0＜α＜144°）；y=180°﹣α（144°＜α＜180°）；（3）α＝162°．

【解析】

（1）通過證明△ODE∽△OCA，可得，即可求解；

（2）通過證明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分兩種情況討論可求解；

（3）分四種情況討論，由等腰三角形的性質可求解．

（1）∵OC是△ABC中AB邊的中線，△ABC的面積為26，

∴S△OAC＝13，

∵DE∥AC，

∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，

∴，且OD＝kOC，

∴S△ODE＝13k2，

（2）∵△ODE∽△OCA，

∴，

∵OC是△ABC中AB邊的中線，點M是DE的中點，

∴AB＝2AO，EM＝DE，

∴＝＝，且∠OEM＝∠OAC，

∴△OEM∽△BAC，

∴∠EOM＝∠ABC＝36°，

如圖2，當0＜α＜144°時，

∵∠AON＝∠B+∠ONB，

∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB

∴y＝α

如圖3，當144°＜α＜180°時，

∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）

∴∠NOB＝α﹣144°，

∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；

（3）當0＜α＜144°時，若OB＝ON，則∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，

若OB＝BN，則∠ONB＝＝72°＝α，

若ON＝BN，則∠ABC＝∠BON＝36°，

∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，

當144°＜α＜180°時，

若OB＝BN，則∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，

∴α＝162°．