Question

如圖，I是△ABC的內心，∠BAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點E．
（1）寫出圖中與△CAE相似的所有三角形；
（2）求證：DI=DB；
（3）求證：DI²=DE•DA．

Answer 1

分析：（1）根據同弧所對的圓周角相等，得∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，再由角平分線定義，則△DBE∽△ABC，△DAB∽△ABC；
（2）連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形，利用等量代換即可證明；
（3）證△DBE∽△DAB，得DB²=DE•DA，再由（2）得DI²=DE•DA．

解答：（1）解：與△CAE相似的所有三角形：△DBE，△DAB；
∵∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，
∴△DBE∽△CAE；
∵∠C=∠D，AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠EAC，
∴△DAB∽△CAE；

（2）證明：連接BI，CI，CD，
∵I為內心，
∴AI為∠BAC角平分線，
BI為∠ABC平分線，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAI，
∠CBD=∠DAC=∠BAI，
∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，
∴△DBI為等腰三角形，
∴DB=DI；

（3）證明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△DBE∽△DAB，
∴

DB

DA

=

DE

DB

，
∴DB²=DE•DA，
又∵DB=DI（已證），
∴DI²=DE•DA．

點評：本題考查了三角形的相似和性質以及三角形的內切圓與內心，證明此題的關鍵是連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形．此題難度較大，屬于難題．