Question

（2002•嘉興）如圖△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點E．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）設⊙D與BC交于點F，當CF=2時，求CD的長；
（3）設CD=a，試給出一個a值使⊙D與BC沒有公共點，并說明你給出的a值符合要求．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點E為切點，則得到∠AED=90°，已知有一組公共角，則根據有兩組角相等的兩個三角形相似可推出△ADE∽△ABC；
（2）連接DF，則DE=DF，設CD=x，則AD=6-x，根據相似三角形的對應邊成比例可得到DE的長，再利用勾股定理求得DF的長，則解方程即可得到CD的長；
（3）取a=3，（可取＜a＜6的任意一個數），則AD=3，根據DE＜AD即可得到DE＜DC從而得到⊙D與BC沒有公共點．
解答：（1）證明：∵點E是切點
∴∠AED=90°
∵∠A=∠A，∠ACB=90°
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：連接DF，則DE=DF
設CD=x，則AD=6-x
∵△ADE∽△ABC
∴
∴DE=
在RT△DCF中
DF²=x²+CF²=x²+4
∴=x²+4
x²+3x-4=0
∴x=1，x=-4（舍去）
∴CD=1（當CD=1時，0＜x＜6，所以點D在AC上）；

（3）解：取a=3，（可取＜a＜6的任意一個數）則AD=AC-CD=3，
∵DE＜AD，
∴DE＜DC，即d＞r，
則⊙D與BC相離，
∴當a=3時，⊙D與BC沒有公共點．
點評：此題主要考查學生對切線的性質，相似三角形的判定及勾股定理等知識點的綜合運用．