Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的面積公式可求得其長和寬即OA、OC的長；
（2）要證明DF為⊙O′的切線只要證明DF⊥O′D即可．
解答：解：（1）在矩形OABC中，設OC=x則OA=x+2，依題意得
x（x+2）=15
解得x₁=3，x₂=-5（不合題意，舍去）
∴OC=3，OA=5．

（2）證明：連接O′D，
在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=
∴△OCE≌△ABE
∴EA=EO
∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中
∵O′O=O′D
∴∠O′OD=∠O′DO
∴∠O′DO=∠EAO
∴O′D∥AE
∵DF⊥AE
∴DF⊥O′D
又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑
∴DF為⊙O′切線．
點評：此題考查了學生對矩形的性質，解一元二次方程及切線的性質的綜合運用．