Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，DE是△ABC的中位線，以C為圓心CD為半徑作圓．
（1）求證：AB是圓的切線．
（2）延長DE到F使EF=2DE；連接CE、AF．求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

證明：（1）如圖1，作 CG⊥AB交AB于G． （1分）
∵∠AGC=90°，∠B=30°
∴CG=BC=CD（2分）
∴AB是圓的切線． （3分）

（2）如圖2，
∵∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，即EF∥AC
∵DE=AC=EF，（4分）
∴EF=AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形； （5分）
又∵CE=BE=AE，∠B=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠ECA=60°，
∴△ECA是等邊三角形
∴CE=AC，
∴四邊形ACEF是菱形． （6分）
分析：（1）過點C作 CG⊥AB交AB于G．欲證AB是圓的切線，只需證明CD=CG即可；
（2）首先利用三角形中位線定理推知四邊形ACEF是平行四邊形；然后利用等邊三角形的判定推知CE=CA；最后由菱形的判定定理（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）證得結論．
點評：本題綜合考查了切線的判定、菱形的判定以及三角形中位線定理．注意，在證明四邊形ACEF是菱形時，需要先證明該四邊形平行四邊形．