Question

已知：如圖1，直線y=x+b與x、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y=

3

x

交于第一象限中的點P，且S_△PBO=1，C點與B點關于x軸對稱．

（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，N為x軸上一點，過A、P、N的圓與直線AC交于點Q，QM⊥x軸于M，求MN；
（3）如圖3，D為線段AO上一動點，連BD，將線段BD繞點D順時針旋轉90°，B點的對應點為E，直線CE與x軸交于點F，則

DF-DA

EF

的值是否為定值？若是定值，請求出其值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用反比例函數的性質得出xy=3，進而得出S△POD=

3

2

，再利用一次函數解析式得出OA=OB，即可得出P點坐標，求出解析式即可；
（2）連接PN、QN，過P作PD⊥x軸于點D，利用全等三角形的判定得出△NPD≌△QNM，進而得出MN=PD即可；
（3）連接DC、BF，過E作EH⊥x軸于點H，首先證明△FBD≌△FCD進而得出∠BFO=∠CFO=45°，FO=BO=AO，再利用已知得出△BDO≌△DEH，即可得出DO=EH=

2

2

EF，即可得出答案．

解答：（1）解：如圖1，過P作PD⊥y軸，
∵直線y=x+b與x、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y=

3

x

，
∴xy=3，
∴S△POD=

3

2

，
∵S_△PBO=1，
∴S△PBD=

1

2

，
由條件可知A（-b，0），B（0，b），
∴OA=OB，
∴PD=BD，
∴

1

2

PD2=

1

2

，
∴PD=1，
∴P（1，3），代入解析式得：
∴b=2，
∴直線AB的解析式為：y=x+2；

（2）解：如圖2，連接PN、QN，過P作PD⊥x軸于點D，
∵∠PAN=∠QAN=45°，
∴PN=QN，∠PNQ=90°，
∴∠PND+∠MNQ=90°，
∵∠PND+∠NPD=90°，
∴∠NDP=∠QMN，
∵在△NPD和△QNM中

∠NDP=∠QMN ∠DPN=∠MNQ PN=QN

∴△NPD≌△QNM（AAS），
∴MN=PD=3；         

（3）解：如圖3，連接DC、BF，過E作EH⊥x軸于點H，
∵BO=CO，DO⊥BC，
∴DB=DC=DE，BF=CF，
∵在△FBD和△FCD中，

FB=FC BD=CD FD=FD

∴△FBD≌△FCD（SSS），
∴∠DEC=∠DCF=∠DBF，
∴∠DEF+∠DBF=180°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFO=∠CFO=45°，FO=BO=AO，
∵將線段BD繞點D順時針旋轉90°，B點的對應點為E，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDO+∠HDE=90°，∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠DBO=∠HDE，
∵在△BDO和△DEH中，

∠DOB=∠EHD ∠DBO=∠HDE BD=DE

，
∴△BDO≌△DEH（AAS），
∴DO=EH=

2

2

EF，
∴

DF-DA

EF

=

(OF+OD)-(OA-OD)

EF

=

2OD

EF

=

2× 2 2 EF

EF

=

2

．
（其它做法酌情給分）

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及一次函數的綜合應用和全等三角形的判定與性質等知識，注意數形結合的應用，根據已知得出DO=EH=

2

2

EF是解題關鍵．