Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，試判斷△CDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB=AD及AE為∠BAD的平分線可得出∠1=∠2，從而證得△BAE≌△DAE，這樣就得出四邊形ABED為平行四邊形，根據菱形的判定定理即可得出結論；
（2）過點D作DF∥AE交BC于點F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，從而結合∠ABC=60°，AB∥DE可判斷出結論．
解答：（1）證明：如圖，∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE，
∴BE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3=∠1，
∴AB=BE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四邊形ABED是菱形．

（2）解：△CDE是直角三角形．
如圖，過點D作DF∥AE交BC于點F，
∵AD∥BC，DF∥AE
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，
∴BE=EF=FC，
∴DE=EF，
又∵∠ABC=60°，AB∥DE，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DF=EF=FC，
∴△CDE是直角三角形．
點評：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定及性質、菱形的判定及性質，難度較大，解答本題需要掌握①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．