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如圖所示,矩形ABCD中,點E在CB的延長線上,使CE=AC,連接AE,點F是AE的中點,連接BF、DF,求證:BF⊥DF.

【答案】分析:延長BF,交DA的延長線于點M,連接BD,進而求證△AFM≌△EFB,得AM=BE FB=FM,即可求得BC+BE=AD+AM,進而求得BD=BM,根據等腰三角形三線合一的性質即可求證BF⊥DF.
解答:證明:延長BF,交DA的延長線于點M,連接BD,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴MD∥BC,
∴∠AMF=∠EBF,∠E=∠MAF,又FA=FE,
∴△AFM≌△EFB,
∴AM=BE,FB=FM,
∵矩形ABCD中,
∴AC=BD,AD=BC,
∴BC+BE=AD+AM,即CE=MD,
∵CE=AC,
∴AC=BD=DM,
∵FB=FM,
∴BF⊥DF.
點評:本題考查了矩形各內角為直角的性質,全等三角形的判定和對應邊相等的性質,等腰三角形三線合一的性質,本題中求證DB=DM是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖①,在平面直角坐標系中,已知△ABC是等邊三角形,點B的坐標為(12,0),動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設運動時間為t秒.以點P為頂點,作等邊△PMN,點M,N在x軸上.
(1)當t為何值時,點M與點O重合;
(2)求點P坐標和等邊△PMN的邊長(用t的代數式表示);
(3)如果取OB的中點D,以OD為邊在△AOB內部作如圖②所示的矩形ODEF,點E在線段AB上.設等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S,請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式,并求出S的最大值.
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科目:初中數學 來源: 題型:

18、如圖所示,在△ABC中,分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD,等邊△ACE、等邊△BCF.
(1)求證:四邊形DAEF是平行四邊形;
(2)探究下列問題:(只填滿足的條件,不需證明)
①當△ABC滿足
∠BAC=150°
條件時,四邊形DAEF是矩形;
②當△ABC滿足
AB=AC≠BC
條件時,四邊形DAEF是菱形;
③當△ABC滿足
∠BAC=60°
條件時,以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在.

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科目:初中數學 來源: 題型:

17、如圖①在矩形ABCD中,動點P從點B出發,沿著BC、CD、DA運動到點A停止,設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,如果y與x的函數圖象如圖②所示,則△ABC的周長為
12

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC是等邊三角形,點O為是AC的中點,OB=12,動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設運動時間為t秒.以點P為頂點,作等邊△PMN,點M,N在直線OB上,取OB的中點D,以OD為邊在△AOB內部作如圖所示的矩形ODEF,點E在線段AB上.
(1)求當等邊△PMN的頂點M運動到與點O重合時t的值;
(2)求等邊△PMN的邊長(用t的代數式表示);
(3)設等邊△PMN和矩形ODE F重疊部分的面積為S,請求你直接寫出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式,并寫出對應的自變量t的取值范圍;
(4)點P在運動過程中,是否存在點M,使得△EFM是等腰三角形?若存在,求出對應的t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•邵陽)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,邊BC、CA、AB的中點分別是D、E、F,則四邊形AFDE是(  )

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