Question

【題目】《函數的圖象與性質》拓展學習片段展示：

（1）【問題】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣ 經過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a= ．
（2）【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應的函數解析式．
（3）【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應的函數y隨x增大而增大時x的取值范圍．
（4）【應用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：如圖①，拋物線：y= （x﹣2）2﹣ ，

對稱軸是：直線x=2，由對稱性得：A（4，0），

沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣ （x﹣2）2+

如圖②，圖象G對應的函數解析式為：y= ；

（3）解：如圖③，由題意得：

當y=1時， （x﹣2）2﹣ =1，

解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ，

∴C（2﹣ ，1），F（2+ ，1），

當y=1時，﹣ （x﹣2）2+ =1，

解得：x1=3，x2=1，

∴D（1，1），E（3，1），

由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當1＜x＜2或x＞2+ 時，函數y隨x增大而增大；

（4）解：∵D（1，1），E（3，1），

∴DE=3﹣1=2，

∵S△PDE= DEh≥1，

∴h≥1；

①當P在C的左側或F的右側部分時，設P[m， ]，

∴h= （m﹣2）2﹣ ﹣1≥1，

（m﹣2）2≥10，

m﹣2≥ 或m﹣2≤﹣ ，

m≥2+ 或m≤2﹣ ，

②如圖③，作對稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，

∵H（2， ），

∴HM= ﹣1= ＜1，

∴點P不可能在DE的上方；

③∵MN=1，

且O（0，0），A（4，0），

∴P不可能在CO（除O點）、OD、EA（除A點）、AF上，

∴P與O或A重合時，符合條件，

∴m=0或m=4；

綜上所述，△PDE的面積不小于1時，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣ 或m≥2+ ．

【解析】（1）把原點（0，0）代入解析式即可求出a的值，

∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣ 經過原點O，

∴0=a（0﹣2）2﹣ ，

a= ，

所以答案是： ；
（2）在0<x<4內翻折函數與點的關于x軸對稱類似，橫坐標x不變，縱坐標y 變?yōu)樗�的相反數，�?y=,y=;然后分段寫出函數關系式；（3）數形結合，觀察出自左到右上升的圖像對應的x范圍即為函數y隨x增大而增大的x范圍；（4）通過面積不小于1，轉化為不等式：S△PDE= DEh≥1，∴h≥1；h為P到DE的距離，經過分析可知，P在原點或在C左側的拋物線上或F的右側拋物線上，解不等式即可求出.

【考點精析】利用二次函數圖象的平移對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．