Question

（2013•哈爾濱）已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱（點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接AF，AE，AE交BD于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證：∠EAF=∠ABD；
（2）如圖2，當(dāng)AB=AD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM，ED，MF，MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N，∠MBF=

1

2

∠BAF，AF=

2

3

AD，試探究FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接FE、FC，構(gòu)建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），則易證∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換可知FE=FA，∠1=∠BAF，則∠5=∠6．然后由四邊形內(nèi)角和是360°、三角形內(nèi)角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，則∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；
（2）FM=

7

2

FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以結(jié)合已知條件和圖形得到∠MBG=∠BMG．易證△AGF∽△DGA，則對(duì)應(yīng)邊成比例：

GF

AG

=

AG

GD

=

AF

AD

．即

GF

AG

=

AG

GD

=

2

3

．
設(shè)GF=2a（a＞0），AG=3a，則GD=

9

2

a，F(xiàn)D=

5

2

a；利用平行線（BE∥AD）截線段成比例易得

BG

GD

=

EG

AG

，則

EG

BG

=

AG

GD

=

2

3

．設(shè)EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于點(diǎn)Q．則

GQ

QE

=

GF

FD

=

2a

5a 2

=

4

5

，又由FQ∥ED，易證得

MF

FN

=

MQ

QE

=

7

2

，所以FM=

7

2

FN．

解答：（1）證明：如圖1，連接FE、FC．
∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，
∴FE=FC，
∴∠1=∠2．
∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱（點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C），
∴AB=CB，∠4=∠3，
∵在△ABF與△CBF中，

AB=CB ∠4=∠3 BF=BF

，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC，
∴FE=FA，∠1=∠BAF，
∴∠5=∠6．
∵∠1+∠BEF=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=180°．
又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4，
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；

（2）FM=

7

2

FN．理由如下：
如圖2，由（1）知，∠EAF=∠ABD．
又∵∠AFB=∠GFA，
∴△AFG∽△BFA，
∴∠AGF=∠BAF．
又∵∠MBF=

1

2

∠BAF，
∴∠MBF=

1

2

∠AGF．
∵∠AGF=∠MBG+∠BMG，
∴∠MBG=∠BMG，
∴BG=MG．
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=∠EAF．
又∵∠FGA=∠AGD，
∴△AGF∽△DGA，
∴

GF

AG

=

AG

GD

=

AF

AD

．
∵AF=

2

3

AD，
∴

GF

AG

=

AG

GD

=

2

3

．
設(shè)GF=2a（a＞0），AG=3a，
∴GD=

9

2

a，
∴FD=

5

2

a
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴BE∥AD，
∴

BG

GD

=

EG

AG

，
∴

EG

BG

=

AG

GD

=

2

3

．
設(shè)EG=2k（k＞0），
∴BG=MG=3k．
如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于點(diǎn)Q．則

GQ

QE

=

GF

FD

=

2a

5a 2

=

4

5

，
∴GQ=

4

5

QE，
∴GQ=

4

9

EG=

8

9

k，MQ=3k+

8

9

k=

35

9

k．
∵FQ∥ED，
∴

MF

FN

=

MQ

QE

=

7

2

，
∴FM=

7

2

FN．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和是360度等知識(shí)點(diǎn)．難度較大，綜合性較強(qiáng)．