Question

【題目】如圖，在半徑為 的 中，弦 ， 是弦 所對的優弧上的動點，連接 ， 過點 作 的垂線交射線 于點 ，當 是等腰三角形時，線段 的長為____．

Answer 1

【答案】或8或

【解析】試題分析：①當BA＝BP時，

易得AB＝BP＝BC＝8，即線段BC的長為8．

②當AB＝AP時，如圖1，延長AO交PB于點D，過點O作OE⊥AB于點E，則AD⊥PB，AE＝AB＝4，

∴BD＝DP，

在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，

∴OE＝3，

易得△AOE∽△ABD，

∴，

∴BD＝，

∴BD＝PD＝，即PB＝，

∵AB＝AP＝8，

∴∠ABD＝∠P，

∵∠PAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，

∴CP＝，

∴BC＝CP－BP＝＝；

③當PA＝PB時

如圖2，連接PO并延長，交AB于點F，過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，連接OB，

則PF⊥AB，

∴AF＝FB＝4，

在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，

∴OF＝3，

∴FP＝8，

易得△PFB∽△CGB，

∴，

設BG＝t，則CG＝2t，

易得∠PAF＝∠ACG，

∵∠AFP＝∠AGC＝90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t ，

在Rt△BCG中，BC＝t＝，

綜上所述，當△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為8，，，

故答案為：8，，．