Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線L：y=-x-與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線L繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線L也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的方程，可得A的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AO，CO的長(zhǎng)；最后可得∠CAO=45°；
（2）根據(jù)題意，求得⊙B第一次與⊙O相切，即外切時(shí)，運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度與時(shí)間、直線L的位置；進(jìn)而求出其旋轉(zhuǎn)的角度，最后可求得直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．
解答：解：（1）A（-，0），
∵C（0，-），
∴OA=OC．
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時(shí)，直線α旋轉(zhuǎn)到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，
連接B₁O，B₁N，則MN=t，OB₁=，
B₁N⊥AN，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠PAC=90°，
∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°．
點(diǎn)評(píng)：本題在平面直角坐標(biāo)系中，求解圓的位置關(guān)系的問題，考查學(xué)生代數(shù)與幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．