Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接BC，過點A作AD∥BC交y軸于點D．

（1）求平行線AD、BC之間的距離；

（2）如圖1，點P為線段BC上方拋物線上的一動點，當△PCB的面積最大時，Q從點P出發，先沿適當的路徑運動到直線BC上點M處，再沿垂直于直線BC的方向運動到直線AD上的點N處，最后沿適當的路徑運動到點B處停止．當點Q的運動路徑最短時，求點M的坐標及點Q經過的最短路徑的長；

（3）如圖2，將拋物線以每秒個單位長度的速度沿射線AD方向平移，拋物線上的點A、C平移后的對應點分別記作A′、C′，當△A′C′B是以C′B為底邊的等腰三角形時，將等腰△A′C′B繞點D逆時針旋轉一周，記旋轉中的△A′C′B為△A″C″B′，若直線A″C″與y軸交于點K，直線A″C″與直線AD交于點I，當△DKI是以KI為底邊的等腰三角形時，求出DK2的值．

Answer 1

【答案】（1）AD與BC之間的距離為；（2）點Q經過的最短路徑的長為+；（3）.

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，先求得點A、B、C的坐標，即可得OA、OB、OC的長，根據勾股定理求得BC的長，利用S△ABC=ABCO=BCAH，即可求得AH的長，從而求得平行線AD、BC之間的距離；（2）如圖2中，設P（m，﹣m2+m+3），由S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC可得S△PBC與m之間的二次函數關系式，根據二次函數的性質求得點P的坐標，作B關于直線AD的對稱點B′交AD于K，連接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，連接BN，則PM+MN+BN的值最小．求得PM+MN+BN的值即可；（3）如圖3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K．分兩種情況求DK2的值即可.

試題解析：

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

對于拋物線y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，

∴A（﹣，0），B（3，0），

令x=0，得到y=3，

∴C（0，3），

∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，

∵S△ABC=ABCO=BCAH，

∴AH==，

∵AD∥BC，

∴AD與BC之間的距離為．

（2）如圖2中，設P（m，﹣m2+m+3），

S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC

=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴m=時，△PBC的面積最大，此時P（，），

作B關于直線AD的對稱點B′交AD于K，連接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，連接BN，則PM+MN+BN的值最小．

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，AD∥BC，

∴直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

∵BB′⊥BC，

∴直線BB′的解析式為y=x﹣6，

由，解得，

∴K（，﹣），

∴直線PK的解析式為y=﹣x+，

由，解得，

∴M（，），

∴點Q經過的最短路徑的長=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，

∵MN=，PK==，

∴點Q經過的最短路徑的長為+．

（3）如圖3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K．

∵A′B=A′C′，AC=A′C′，AA′∥BC，

∴四邊形AA′BC是等腰梯形，易知△ACH≌△A′BK，

∴CH=BK=KC′，

由（1）可知，CH===，

∴BC′=，

∴CC′=，易知C′（，），A′（，﹣），

∴直線A′C′的解析式為y=x﹣，

∵DG⊥A′C′，

∴直線DG的解析式為y=﹣x﹣1，

由，解得，

∴G（，﹣），

∴DG=，

如圖4中，將等腰△A′C′B繞點D逆時針旋轉一周的過程中，△DKI是以KI為底邊的等腰三角形用圖中四種情形，根據對稱性可知，DK2的值有兩種情形．

作DG′⊥KL于G′，則DG′=DG=，作CQ平分∠OCB，

∵OC：CB=OQ：QB，BC===3，

∴OQ：QB=3：3=1：，

∴OQ=×3=，

在Rt△COQ中，CQ==，

∵DK=DL，DG′⊥KL，

∴∠G′DK=G′DL，

∵BC∥AD，

∴∠G′DK=∠OCQ，∵∠COQ=∠DG′K=90°，

∴△DG′K∽△COQ，

∴=，

∴DK2===，

同法當△DK′L′是等腰三角形時，作DG″⊥K′L′，易證△DK′G″∽△QCO，

∴=，

∴DK′2===．